题目内容
在平面直角坐标中，Rt△OAB的两顶点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点O是原点．其中点A（0，3），B（4，0），OC是Rt△OAB的高，点P以每秒1个单位长的速度在线段OB上由点O向点B运动（与端点不重合），过点P作PD⊥AP交AB于点D，设运动时间为t秒．
（1）若△AOE的面积为
，求点E的坐标；
（2）求证：△AOE∽△PBD；
（3）△PBD能否是等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t=3时，直接写出此时
的值．
（1）若△AOE的面积为
| 3 |
| 2 |
（2）求证：△AOE∽△PBD；
（3）△PBD能否是等腰三角形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t=3时，直接写出此时
| AE |
| EP |
（1）过点E作EF⊥OA于点F，
∵△AOE的面积为
，OA=3，
∴EF=1；
∵∠EOF=∠ABO=90°-∠BOC，
∠EFO=∠AOB=90°，
∴△OEF∽△BAO，
=
，即
=
，所以OF=
，
∴点E的坐标为（1，
）．
（2）证明：∵Rt△OAB中，OC为斜边AB边上的高，
∴∠EOA+∠OAC=90°，∠DBP+∠OAC=90°，
∴∠EOA=∠DBP，
∴∠EOA=∠DBP=90°-∠BOC，
∠AEO=∠PDB=90°+∠PAB，
∴△AOE∽△PBD．
（3）△PBD可以是等腰三角形，
∵∠PDB=90°+∠PAB＞90°，
∴如果△PBD是等腰三角形，∠PDB只能顶角，即DP=DB，
当△PDB是等腰三角形，∵△AOE∽△PBD，
∴△AOE是等腰三角形，且EA=EO；
过点E作EF⊥AO于点F，则AF=OF=
；
∵△OEF∽△BAO，
∴
=
，即
=
，所以EF=
，
∵△AFE∽△AOP，
∴
=
，即
=
，所以t=
，
∴当△PBD是等腰三角形时，t=
；
（4）当t=3时，
=
．
∵△AOE的面积为
| 3 |
| 2 |
∴EF=1；
∵∠EOF=∠ABO=90°-∠BOC，
∠EFO=∠AOB=90°，
∴△OEF∽△BAO，
| EF |
| AO |
| OF |
| BO |
| 1 |
| 3 |
| OF |
| 4 |
| 4 |
| 3 |
∴点E的坐标为（1，
| 4 |
| 3 |
（2）证明：∵Rt△OAB中，OC为斜边AB边上的高，
∴∠EOA+∠OAC=90°，∠DBP+∠OAC=90°，
∴∠EOA=∠DBP，
∴∠EOA=∠DBP=90°-∠BOC，
∠AEO=∠PDB=90°+∠PAB，∴△AOE∽△PBD．
（3）△PBD可以是等腰三角形，
∵∠PDB=90°+∠PAB＞90°，
∴如果△PBD是等腰三角形，∠PDB只能顶角，即DP=DB，
当△PDB是等腰三角形，∵△AOE∽△PBD，
∴△AOE是等腰三角形，且EA=EO；
过点E作EF⊥AO于点F，则AF=OF=
| 3 |
| 2 |
∵△OEF∽△BAO，
∴
| EF |
| AO |
| OF |
| BO |
| EF |
| 3 |
| ||
| 4 |
| 9 |
| 8 |
∵△AFE∽△AOP，
∴
| AF |
| AO |
| EF |
| PO |
| ||
| 3 |
| ||
| t |
| 9 |
| 4 |
∴当△PBD是等腰三角形时，t=
| 9 |
| 4 |
（4）当t=3时，
| AE |
| EP |
| 3 |
| 4 |
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