Question

【题目】如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E，F，连接EF．
（1）求证：PF平分∠BFD；
（2）若tan∠FBC= ，DF= ，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OP、BF、PF．

∵⊙O与AD相切于点P，

∴PO⊥AD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD⊥AD，

∴OP∥CD，

∴∠PFD=∠OPF，

∵OP=OF，

∴∠OPF=∠OFP，

∴∠OFP=∠PFD，

∴PF平分∠BFD

（2）解：∵∠C=90°，

∴BF是⊙O的直径，

∴∠BEF=90°，

∴四边形BCFE是矩形，

∴EF=BC，

∵tan∠FBC= ，设FC=3x，则BC=4x，

∵BC=DC，

∴4x=3x+ ，

∴x= ，

∴EF=BC=4 ．

【解析】（1）连接OP、BF、PF．由OP∥CD，推出∠PFD=∠OPF，由OP=OF，推出∠OPF=∠OFP，即可推出∠OFP=∠PFD．（2）首先证明四边形BCFE是矩形，推出EF=BC，由tan∠FBC= ，设FC=3x，则BC=4x，由BC=DC，可得方程4x=3x+ ，解方程即可解决问题．