Question

如图：已知在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．
（1）求证：DE=DF；
（2）若∠A=60°，BE=1，求△ABC的周长．

Answer 1

（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）．
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）．
∴DE=DF

（2）解：∵AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴∠B=60°，
∵∠BED=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=BD，
∵BE=1，
∴BD=2，
∴BC=2BD=4，
∴△ABC的周长为12．
分析：（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC，AB=AC，求证∠B=∠C．再利用D是BC的中点，求证△BED≌△CFD即可得出结论．
（2）根据AB=AC，∠A=60°，得出△ABC为等边三角形．然后求出∠BDE=30°，再根据题目中给出的已知条件即可算出△ABC的周长．
点评：此题主要考查学生对等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．