Question

如图，在正方形ABCD中，AB=4，0为对角线BD的中点，分别以OB，OD为直径作⊙O₁，⊙0₂．
（1）圆O₁的半径是

2

；
（2）BE=

2

；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）首先求得BD的长度，根据圆的半径是

1

4

BD即可求解；
（2）作O₁F⊥AB于点F，连接O₁E，则△O₁BF是等腰直角三角形，根据勾股定理以及垂径定理即可求解；
（3）弧BE与BE围成的阴影部分的面积是圆面积的

1

4

减去△O₁BE的面积，即可求解．

解答：解：（1）正方形的对角线BD=

2

AB=4

2

，
则○O₁的半径是：

1

4

BD=

2

，
故答案是：

2

；

（2）作O₁F⊥AB于点F，连接O₁E．
正方形ABCD中，∠ABD=45°，则△O₁BF是等腰直角三角形，
则BF=

2

2

O₁B=

2

2

×

2

=1，
因而BE=2；

（3）弧BE与BE围成的阴影部分的面积是：

1

4

π（

2

）²-

1

2

×

2

×

2

=

1

2

π-1，
则阴影部分的面积是：4（

1

2

π-1）=2π-4．

点评：本题考查了勾股定理，垂径定理以及三角形、圆的面积的计算，正确理解△O₁BF是等腰直角三角形是关键．