题目内容
【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CECA.
(1)求证:BC=CD;
(2)分别延长AB,DC交于点P,过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F,若PB=OB,CD=,求DF的长.
【答案】(1)证明见解析;
(2)DF的长为.
【解析】(1)证明:∵DC2=CECA,∴,又∠DCE=∠ACD,
∴△CDE∽△CAD,∴∠CDB=∠DAC,∴=
,∴BC=CD;
(2)解:如图,连接OC,
∵BC=CD,∴∠DAC=∠CAB,又∵AO=CO,∴∠CAB=∠ACO,
∴∠DAC=∠ACO,∴AD∥OC,∴,
∵PB=OB,CD=,∴
.∴PC=4
.
又∵∠P=∠P,∠PAD=∠PCB,∴△PCB∽△PAD,
∴, ∴
,∴OB=4.
在Rt△ACB中,AC==
=2
,
∵AB是直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,
∴∠FDA+∠BDC=90°,∠CBA+∠CAB=90°,
∵∠BDC=∠CAB,∴∠FDA=∠CBA.
又∵∠AFD=∠ACB=90°,∴△AFD∽△ACB,
∴.
在Rt△AFP中,设FD=x,则AF=x,
在Rt△APF中有,,求得DF=
.

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