Question

方程x²+px+q=0的两根都是非零整数，且p+q=198，则p=

-202

．

Answer 1

分析：设方程x²+px+q=0的两非零整数根分别为x₁，x₂，x₁，≥x₂，利用根与系数的关系得到x₁+x₂=-p①，x₁x₂=q②，则②-①得，x₁x₂-x₁-x₂=p+q=198，然后变形得到（x₁-1）（x₂-1）=199，利用整数的性质得到x₁-1=199，x₂-1=1，或x₁-1=-1，x₂-1=-199，从而题目要求得到x₁=200，x₂=2，最后计算出p．

解答：解：设方程x²+px+q=0的两非零整数根分别为x₁，x₂，x₁≥x₂，
∴x₁+x₂=-p①，x₁x₂=q②，
②-①得，x₁x₂-x₁-x₂=p+q，
而p+q=198，
∴x₁x₂-x₁-x₂=198，
∴x₁x₂-x₁-x₂+1=199，
∴（x₁-1）（x₂-1）=199，
∴x₁-1=199，x₂-1=1，或x₁-1=-1，x₂-1=-199，
而方程x²+px+q=0的两根都是非零整数，
∴x₁=200，x₂=2，
∴p=-（x₁+x₂）=-202．
故答案为：-202．

点评：本题考查了求一元二次方程整数根的方法：利用根与系数关系消去未知系数，得到方程两个根的关系，然后根据整数的性质讨论得到方程的整数根．