题目内容

已知正整数a满足192|a3+191,且a<2009,求满足条件的所有可能的正整数a的和.
由192|a3+191,可得192|a3-1+192=3×26
且a3-1=(a-1)[a(a+1)+1]=(a-1)a(a+1)+(a-1). (5分)
因为a(a+1)+1是奇数,
所以26|a3-1等价于26|a-1,
又因为3|(a-1)a(a+1),
所以3|a3-1等价于3|a-1.
因此有192|a-1,于是可得a=192k+1. (15分)
又∵0<a<2009,所以k=0,1,10.
因此,满足条件的所有可能的正整数a的和为
11+192(1+2+…+10)=10571. (20分)
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