题目内容
【题目】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD 的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．
（1）计算矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为
时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形
，将矩形绕
点按顺时针方向旋转，当
落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形
，设旋转角为
，求
的值．
【答案】（1）
；（2）矩形移动的距离为
时，矩形与△CBD重叠部分的面积是
；（3）
【解析】（1）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=2，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得结果；
（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（0＜x≤
），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时（＜x≤
），列出方程解得x；
（3）作H2Q⊥AB于Q，设DQ=m，则H2Q＝
m，又DG1＝，H2G1＝，利用勾股定理可得m，在Rt△QH2G1中，利用三角函数解得cosα．
（1）如图①，
在
中，
∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2,
又∵D是AB的中点，∴AD=1，
．
又∵EF是
的中位线，∴
，
在中，AD=CD, ∠A=60°,
∴∠ADC=60°．
在
中,
60°
，
∴矩形EFGH的面积
．
（2）如图②，设矩形移动的距离为
则
，
当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，
则
，
， ∴
．（舍去）．
当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则
，
重叠部分的面积S=
, ∴
．
即矩形移动的距离为时，矩形与△CBD重叠部分的面积是．
（3）如图③，作
于
．
设
，则
，又
，
．
在Rt△H2QG1中，
，
解之得
（负的舍去）．
∴
．
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