Question

如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，切点为B，且BC=4\sqrt{3}．
（1）求圆心O到AC的距离；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析：（1）首先在Rt△ABC中，根据∠BAC的度数以及BC的长，可求出⊙O的直径；过O作AC的垂线，设垂足为E，在Rt△OAE中，根据⊙O的半径及∠BAC的度数，即可求得OE．
（2）连接OD，阴影部分的面积即为扇形OAD和△OAD的面积差；扇形圆心角∠AOD的度数易求得，而AD的长，可由AB•sinA得出，由此得解．

解答：解：（1）过O作OE⊥AC于E；
∵BC是圆的切线，
∴∠ABC=90°
∵∠BAC=30°，BC=4

3

．
∴AB=

BC

tan30°

=12，
∴AO=6；
∵∠ABC=∠OEA，
又∠ABC=∠EAO，
∴sin∠ABC=sin∠EAO=30°，
∴OE=

1

2

AO=3．

（2）连接OD、BD；
∵∠AOD=2∠AOE=120°，
在Rt△ABD中，AD=AB•cosA=6

3

；
∴S_扇形=

120•π•62

360

=12π，S_△AOD=

1

2

AD•OE=

1

2

×6

3

×3=9

3

；
∴S_阴影=S_扇形-S_△AOD=12π-9

3

．

点评：此题主要考查的是切线的性质、图形面积的求法以及解直角三角形的应用．