Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为斜边AB的中线．过点D作AB的垂线交AC于点E，再过A、D、E三点作⊙O．

（1）确定⊙O的圆心O的位置，并证明CD为⊙O的切线；

（2）若BC＝3，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】（1）圆心O在AE的中点处，见解析；（2）2

【解析】

（1）求出∠ADE＝90°，根据圆周角定理求出AE为直径，即可得出答案；求出OD⊥DC，根据切线的判定得出即可；

（2）解直角三角形求出AB，求出AD，解直角三角形求出AE即可．

（1）解：∵点D在⊙O上，DE⊥AB，

∴∠ADE＝90°，

∴AE为⊙O的直径，

∴圆心O在AE的中点处；

证明：连接OD，

∵∠A＝30°，

∴∠COD＝2∠A＝60°，

∵在Rt△ACB中，CD为斜边AB上的中线，

∴CD＝AB＝AD，

∴∠OCD＝∠A＝30°，

∴∠ODC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

即OD⊥DC，

∵OD过O，

∴CD为⊙O的切线；

（2）解：∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，

∴AB＝2BC＝6，

∵D为AB的中点，

∴AD＝BD＝3，

在Rt△ADE中，AE＝＝＝2，

∴⊙O的直径为2．