Question

已知：⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，AC切⊙O₂于点A，交⊙O₁于点C．直线EF过点B，交⊙O₁于点E，交⊙O₂于点F．
（1）设直线EF交线段AC于点D（如图1）．
①若ED=12，DB=25，BF=11，求DA和DC的长；
②求证：AD•DE=CD•DF；
（2）当直线EF绕点B旋转交线段AC的延长线于点D时（如图2），试问AD•DE=CD•DF是否仍然成立？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）①有ED，BD，BF的长，根据切割线定理，可求出AD的长，然后根据相交弦定理可求出CD的长；②根据切割线定理得出的AD²=DB•BF以及相交弦定理得出的AD•CD=DE•BD，两式子相除即可得出所求的结论．
（2）解法与（1）中的②完全相同．

解答：解：（1）①∵AC切⊙O₂于A，
∴AD²=DB•DF=25×36．
∴AD=30．
又由AD•CD=DE•BD得CD=10，
∴AD=30，CD=10．
②由AD²=DB•DF和AD•CD=DE•BD，
相除可得

AD

CD

=

DF

DE

，故AD•DE=CD•DF．

（2）成立，
证明：∵AD切⊙O₂于A，
∴AD²=DB•DF…①
又由DA•CD=DE•DB …②
①÷②得：

AD

CD

=

DF

DE

，因此AD•DE=CD•DF．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定和性质的应用以及切割线定理和相交弦定理．