题目内容

【题目】问题探究

1)如图1ABCDEC均为等腰直角三角形,且∠BAC=CDE=90°AB=AC=3DE=CD=1,连接ADBE,的值;

2)如图2,在RtABC中,∠ACB=90°,∠B=30°BC=4,过点AAMAB,点P是射线AM上一动点,连接CP,做CQCP交线段AB于点Q,连接PQ,求PQ的最小值;

3)李师傅准备加工一个四边形零件,如图3,这个零件的示意图为四边形ABCD,要求BC=4cm,∠BAD=135°,∠ADC=90°AD=CD,请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD的最大值。

图3

【答案】(1);(2);(3)+.

【解析】

1)由等腰直角三角形的性质可得BC=3CE=,∠ACB=DCE=45°,可证ACD∽△BCE,可得

2)由题意可证点A,点Q,点C,点P四点共圆,可得∠QAC=QPC,可证ABC∽△PQC,可得,可得当QCAB时,PQ的值最小,即可求PQ的最小值;

3)作∠DCE=ACB,交射线DA于点E,取CE中点F,连接ACBEDFBF,由题意可证ABC∽△DEC,可得,且∠BCE=ACD,可证△BCE∽△ACD,可得∠BEC=ADC=90°,由勾股定理可求CEDFBF的长,由三角形三边关系可求BD的最大值.

1)∵∠BAC=CDE=90°AB=AC=3DE=CD=1

BC=3CE=,∠ACB=DCE=45°

∴∠BCE=ACD

,∠BCE=ACD

∴△ACD∽△BCE

2)∵∠ACB=90°,∠B=30°BC=4

AC=AB=2AC=

∵∠QAP=QCP=90°

∴点A,点Q,点C,点P四点共圆,

∴∠QAC=QPC,且∠ACB=QCP=90°

∴△ABC∽△PQC

PQ=×QC=QC

∴当QC的长度最小时,PQ的长度最小,

即当QCAB时,PQ的值最小,

此时QC=2PQ的最小值为

3)如图,作∠DCE=ACB,交射线DA于点E,取CE中点F,连接ACBEDFBF

∵∠ADC=90°AD=CD

∴∠CAD=45°,∠BAC=BAD-CAD=90°

∴△ABC∽△DEC

∵∠DCE=ACB

∴∠BCE=ACD

∴△BCE∽△ACD

∴∠BEC=ADC=90°

CE=BC=2

∵点FEC中点,

DF=EF=CE=

BF==

BD≤DF+BF=+

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