Question

如图，P为等边△ABC内一点，∠APB：∠APC：∠CPB=5：6：7，则以PA、PB、PC为三边构成的一个三角形的三个内角从小到大度数之比（　　）

A．1：2：3

B．2：3：4

C．3：4：5

D．5：6：7

Answer 1

分析：先根据周角的定义由∠APB：∠APC：∠CPB=5：6：7可计算出∠APB=360°×

5

18

=100°，∠APC=360°×

6

18

=120°，根据等边三角形的性质得BA=BC，∠ABC=60°，把△BCP绕点B逆时针60°得到△BAD，根据旋转的性质得BP=BD，∠DBP=60°，∠ADB=∠CPB=120°，则△PBD为等边三角形，得到∠BDP=∠BPD=60°，DP=PB，可计算出∠ADP=60°，∠APD=40°，利用三角形内角和定理计算出∠DAP=80°，△ADP是以PA、PB、PC为三边构成的一个三角形，三个内角从小到大度数之比为40°：60°：80°=2：3：4．

解答：解：∵∠APB：∠APC：∠CPB=5：6：7，
而∠APB+∠APC+∠CPB=360°，
∴∠APB=360°×

5

18

=100°，∠APC=360°×

6

18

=120°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
把△BCP绕点B逆时针60°得到△BAD，如图，
∴BP=BD，∠DBP=60°，∠ADB=∠CPB=120°，
∴△PBD为等边三角形，
∴∠BDP=∠BPD=60°，DP=PB，
∴∠ADP=∠ADB-∠PDB=120°-60°=60°，∠APD=∠APB-∠BPD=100°-60°=40°，
∴∠DAP=180°-60°-40°=80°，
在△ADP中，AD=PC，DP=PB，即△ADP是以PA、PB、PC为三边构成的一个三角形，
此三角形的三个内角从小到大度数之比为40°：60°：80°=2：3：4．
故选B．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的判定与性质．