Question

如图，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．
（1）操作1：固定△ABC，将三角板沿C→B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2所示，探究：三角板沿C→B方向平移的距离为

 

；
（2）操作2：在（1）的情况下，将三角板BC的中点M顺时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），如图3所示，探究：设三角形板两直角边分别与AB、AC交于点P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，问：四边形MPAQ的面积S是否改变，若不变，求其面积；若改变，试说明理由；
（3）在（2）的情形下，连PQ，设BP=x，记△MPQ的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y的值是四边形MPAQ的面积的一半，此时，指出四边形MPAQ的形状．

Answer 1

分析：（1）M是BC的中点，三角板沿C→B方向平移的距离为CM，根据勾股定理可求BC，那么CM可求；
（2）连AM，分别证明△MAQ≌△MBP和△MAP≌△MCQ，那么四边形MPAQ的面积S就是△ABC面积的一半；
（3）用四边形MPAQ的面积减去△APQ可得△MPQ的面积，而AQ=PB=x，AP=2-x，据此列出y关于x的函数关系式，将函数值代入函数关系式可得自变量，根据自变量可以判断四边形MPAQ的形状．

解答：解：（1）BC=

22+22

=2

2

∴CM=

1

2

BC=

2

故三角板沿C→B方向平移的距离为：

2

．

（2）四边形MPAQ的面积S不变，如图，连AM，M是等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，

∴AM=BM，而∠QMA=∠PMB=a，∠QAM=∠PBM=45°
∴△MAQ≌△MBP，
同理可得：△MAP≌△MCQ，
∴S_{四边形MPAQ}=S_△MAQ+S_△MAP=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×2×2=1

（3）y=1-

1

2

x（2-x）=

1

2

x²-x+1
如果y的值是四边形MPAQ的面积的一半，
则有，

1

2

x²-x+1=1×

1

2

 解得，x=1．
四边形MPAQ为正方形．

点评：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、正方形的判定及函数关系式的运用．