Question

如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE：EA=5：3，BC=10，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，则：
（1）AB=

 

；
（2）若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的半径=

 

．

Answer 1

分析：（1）求线段的长度问题，题中可先设其长度为k，然后利用三角形相似建立平衡关系，再用勾股定理求解即可．
（2）连接OB，由⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则由（1）可知BE=5，BC=10，所以可求出S_△EBC的面积，又因为_^S△EBC=S_△OEB+S_△OBC，进而求出则⊙O的半径．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，
∴∠AFE+∠AEF=90°，
∵F在AD上，∠EFC=90°，
∴∠AFE+∠DFC=90°，
∴∠AEF=∠DFC，
∴△AEF∽△DFC，
∴

AE

DF

=

AF

DC

；
∵BE：EA=5：3
设BE=5k，AE=3k
∴AB=DC=8k，
由勾股定理得：AF=4k，
∴

3k

DF

=

4k

8k

∴DF=6k
∴BC=AD=10k，
又∵BC=10，
∴k=1，
∴AB=8k=8；

（2）连接OB，由（1）可知BE=5，BC=10，
∴S_△EBC=

1

2

×10×5=25，
∵_^S△EBC=S_△OEB+S_△OBC，
∴

1

2

×BE×BC=

1

2

×BE×r+

1

2

×BC×r，
解得：r=

10

3

．
故答案为：8，

10

3

．

点评：本题考查了矩形的性质，会解决一些简单的翻折问题，能够利用勾股定理求解直角三角形；同时也考查了切线的性质及勾股定理的应用，难度稍大，解题时要理清思路．