Question

【题目】如图，将△MNP的三边分别向两边延长，并在每两条延长线上任取两点连接起来，又得到了三个新的三角形．求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

利用三角形外角的性质，把∠A+∠B转化为∠1，∠C＋∠D转化为∠2，∠E＋∠F转化为∠3，继续利用外角性质，把∠1＋∠2＋∠3转化为两倍三角形的内角和即可得证。

证明：如图

∵∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D，∠3＝∠E＋∠F，

∴∠1＋∠2＋∠3＝∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F.

又∵∠1＝∠4＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠3＝∠5＋∠6，

∴∠1＋∠2＋∠3＝∠4＋∠5＋∠4＋∠6＋∠5＋∠6

＝2(∠4＋∠5＋∠6)

＝2×180°＝360°，

∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°