题目内容

【题目】如图,四边形ABCD 内接于⊙OBD是⊙O的直径,过点A作⊙O的切线AECD的延长线于点EDA平分∠BDE

(1)求证:AECD

(2)已知AE=4cmCD=6cm,求⊙O的半径.

【答案】(1)证明见解析;(25cm

【解析】试题分析:(1)连接OA,因为点A⊙O上,所以只要证明OA⊥AE即可;由同圆的半径相等得:OA=OD,则∠ODA=∠OAD,根据角平分线可知:∠OAD=∠EDA,所以EC∥OA,由此得OA⊥AE,则AE⊙O的切线;

(2)过点OOF⊥CD,垂足为点F,证明四边形AOFE是矩形,得OF=AE=4cm,由垂径定理得:DF=3,根据勾股定理求半径OD的长.

试题解析:

(1)连结OA∵OA=OD

∴∠ODA=∠OAD

∵DA平分∠BDE

∴∠ODA=∠EDA

∴∠OAD=∠EDA

∴EC∥OA

∵AE⊥CD

∴OA⊥AE

∵点A⊙O上,

∴AE⊙O的切线;

(2)过点OOF⊥CD,垂足为点F

∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°

∴四边形AOFE是矩形,

∴OF=AE=4cm

∵OF⊥CD

∴DF=CD=3cm

Rt△ODF中,OD==5cm

⊙O的半径为5cm

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