题目内容
【题目】如图,顶点为的抛物线
与
轴交于
,
两点,与
轴交于点
.
(1)求这条抛物线对应的函数表达式;
(2)问在轴上是否存在一点
,使得
为直角三角形?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由.
(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点,满足
,过
作
轴于点
,设
的内心为
,试求
的最小值.
【答案】(1);(2)点
坐标为
或
或
或
时,
为直角三角形;(3)
最小值为
.
【解析】
(1)结合题意,用待定系数法即可求解;
(2)分3种情况讨论,用勾股定理即可求解;
(3)根据正方形的判定和勾股定理,即可得到答案.
(1)∵抛物线过点
,
,
∴,解得:
,
∴这条抛物线对应的函数表达式为.
(2)在轴上存在点
,使得
为直角三角形.
∵,
∴顶点,
∴,
设点坐标为
,
∴,
,
①若,则
.
∴,
解得:,
∴.
②若,则
,
∴,
解得:,
,
∴或
.
③若,则
,
∴,
解得:,
∴.
综上所述,点坐标为
或
或
或
时,
为直角三角形.
(3)如图,过点作
轴于点
,
于点
,
于点
,
∵轴于点
,
∴,
∴四边形是矩形,
∵点为
的内心,
∴,
,
,
,
∴矩形是正方形,
设点坐标为
,
∴,
,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴化简得:,
配方得:,
∴点与定点
的距离为
.
∴点在以点
为圆心,半径为
的圆在第一象限的弧上运动,
∴当点在线段
上时,
最小,
∵,
∴,
∴最小值为
.

【题目】为了解学生的课外阅读情况,七(1)班针对“你最喜爱的课外阅读书目”进行调查(每名学生必须选一类且只能选一类阅读书目),并根据调查结果列出统计表,绘制成扇形统计图.
男、女生所选类别人数统计表
类别 | 男生(人) | 女生(人) |
文学类 | 12 | 8 |
史学类 | 5 | |
科学类 | 6 | 5 |
哲学类 | 2 |
根据以上信息解决下列问题
(1) ,
;
(2)扇形统计图中“科学类”所对应扇形圆心角度数为 ;
(3)从选哲学类的学生中,随机选取两名学生参加学校团委组织的辩论赛,请用树状图或列表法求出所选取的两名学生都是男生的概率.