题目内容

【题目】如图,顶点为的抛物线轴交于两点,与轴交于点

1)求这条抛物线对应的函数表达式;

2)问在轴上是否存在一点,使得为直角三角形?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.

3)若在第一象限的抛物线下方有一动点,满足,过轴于点,设的内心为,试求的最小值.

【答案】1;(2)点坐标为时,为直角三角形;(3最小值为.

【解析】

1)结合题意,用待定系数法即可求解;

2)分3种情况讨论,用勾股定理即可求解;

3)根据正方形的判定和勾股定理,即可得到答案.

1)∵抛物线过点

,解得:

∴这条抛物线对应的函数表达式为.

2)在轴上存在点,使得为直角三角形.

∴顶点

设点坐标为

①若,则.

解得:

.

②若,则

解得:

.

③若,则

解得:

.

综上所述,点坐标为时,为直角三角形.

3)如图,过点轴于点于点于点

轴于点

∴四边形是矩形,

∵点的内心,

∴矩形是正方形,

设点坐标为

∴化简得:

配方得:

∴点与定点的距离为.

∴点在以点为圆心,半径为的圆在第一象限的弧上运动,

∴当点在线段上时,最小,

最小值为.

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