Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：

①BE＝CD；

②∠DGF＝135°；

③△BEG≌△DCG；

④∠ABG+∠ADG＝180°；

⑤若，则3S△BDG＝13S△DGF．

其中正确的结论是_____．（请填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①③④⑤

【解析】

①根据矩形的性质可得出∠BAD=∠ABC=90°，AB=CD，再由角平分线的性质可得出∠BAE=45°，通过角的计算即可得出∠BAE=∠BEA，从而得出AB=BE=CD，即①正确；②根据平行线的性质以及对顶角相等可得出△CEF为等腰直角三角形，由此得出∠CGF=90°，∠FCG=45°，根据三角形外角的性质可得出∠CGD＜45°，再由角的关系即可得出∠DGF=∠CGD+∠CGF＜135°，即②不正确；③通过角的计算可得出∠BEG=∠DCG，再根据等腰直角三角形的性质可得出CG=EG，由此即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△BEG≌△DCG，即③正确；④由③可得出∠EBG=∠CDG，根据角的计算即可得出∠ABG+∠ADG=180°，即④正确；⑤过点G作GM⊥DF于点M，设AB=2a（a＞0），则AD=3a，利用分割图形求面积法结合三角形的面积公式可算出S△BDG和S△DGF的值，由此可得出⑤正确．综上即可得出结论．

解：①∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，

∵AE是∠BAD的角平分线，

∴∠BAE＝∠DAE＝45°，

∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝45°＝∠BAE，

∴BE＝AB＝CD，①正确；

②∵AB∥CD，

∴∠CFE＝∠BAE＝45°，∠CEF＝∠AEB＝45°，

∴△CEF为等腰直角三角形，

∵点G为EF的中点，

∴CG⊥EF，∠CGF＝90°，∠FCG＝45°，

∵∠FCG＝∠CGD+∠CDG＝45°，

∴∠CGD＜45°，

∴∠DGF＝∠CGD+∠CGF＜45°+90°＝135°，②不正确；

③∵△CEF为等腰直角三角形，

∴CG＝EG．

∵∠BEG＝180°﹣∠CEF＝135°，∠DCG＝180°﹣∠FCG＝135°，

∴∠BEG＝∠DCG，

在△BEG和△DCG中，有，

∴△BEG≌△DCG（SAS），③正确；

④∵△BEG≌△DCG，

∴∠EBG＝∠CDG，

∵∠ABG＝∠ABC+∠EBG，∠ADG＝∠ADC﹣∠CDG，

∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠ADC＝180°，④正确；

⑤过点G作GM⊥DF于点M，如图所示．

∵＝，

∴设AB＝2a（a＞0），则AD＝3a．

∵∠DAF＝45°，∠ADF＝90°，

∴△ADF为等腰直角三角形，

∴DF＝AD＝3a．

∵△CGF为等腰直角三角形，

∴GM＝CM＝CF＝（DF﹣CD）＝a，

∴S△DGF＝DFGM＝×3a×a＝．

S△BDG＝S△BCD+S梯形BGMC﹣S△DGM＝×2a×3a+×（3a+a）×a﹣×a×（2a+a）＝．

∴3S△BDG＝13S△DGF，⑤正确．

综上可知：正确的结论有①③④⑤．

故答案为：①③④⑤．