题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2
，△ABC腰上的高等于底边的一半，以A为圆心的⊙A经过
BC的中点D，且交AB、AC于M、N两点，
（1）求证：BC是⊙A的切线；
（2）求
的长；
（3）求图中阴影部分的面积（保留π）．
| 3 |
BC的中点D，且交AB、AC于M、N两点，（1）求证：BC是⊙A的切线；
（2）求
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| MDN |
（3）求图中阴影部分的面积（保留π）．
分析：（1）连接AD，根据题意可得出AD⊥BC，则BC是圆A的切线．
（2）由△ABC是等腰三角形，则∠BAC=120°，由D为BC中点，则得出BD、AD，根据弧长公式得出答案；
（3）S△ABC=
BC•AD，S扇形MAN，则S阴影=S△ABC-S扇形MAN．
（2）由△ABC是等腰三角形，则∠BAC=120°，由D为BC中点，则得出BD、AD，根据弧长公式得出答案；
（3）S△ABC=
| 1 |
| 2 |
解答：
（1）证明：连接AD，
∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC
∴BC是圆A的切线． （3分）
（2）解：∵△ABC腰上的高等于底边的一半
∴∠B=∠C=30°
∴∠BAC=120°
∵BC=2
，D为BC中点
∴BD=
∴AD=1
∴
=
=
（6分）
（3）解：S△ABC=
BC•AD=
S扇形MAN=
2=
∴S阴影=S△ABC-S扇形MAN=
-
（10分）
（1）证明：连接AD，∵AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC
∴BC是圆A的切线． （3分）
（2）解：∵△ABC腰上的高等于底边的一半
∴∠B=∠C=30°
∴∠BAC=120°
∵BC=2
| 3 |
∴BD=
| 3 |
∴AD=1
∴
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| MDN |
| 120π×1 |
| 180 |
| 2π |
| 3 |
（3）解：S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 120π×1 |
| 360 |
| π |
| 3 |
∴S阴影=S△ABC-S扇形MAN=
| 3 |
| π |
| 3 |
点评：本题考查了弧长的计算、扇形面积的计算，要熟练掌握公式是解此题的关键．
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