Question

为预防“手足口病”，某校对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．据以上信息解答下列问题：
（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
（2）求药物燃烧后y与x的函数关系式．
（3）当每立方米空气中含药量不低于1.6mg时，能起到有效消毒作用，那么本次消毒的有效时长为多少分钟？

Answer 1

解：（1）设药物燃烧阶段函数解析式为y=k₁x（k₁≠0），
由题意得：8=10k₁，
解得：k₁=，
故此阶段函数解析式为y=x（0≤x≤10）；

（2）设药物燃烧结束后函数解析式为y=（k₂≠0），
由题意得：，
解得：k₂=80，
故此阶段函数解析式为（x≥10）；

（3）由题意得：，
解得：2≤x≤50，
50-2=48（分钟），
故本次消毒的有效时长为48分钟．
分析：（1）首先根据题意可知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y与燃烧时间x成正比例，故设函数关系式为y=k₁x（k₁≠0），再利用待定系数法把（10，8）代入即可求出函数关系式；
（2）燃烧后y与x成反比例；且其图象都过点（10，8），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
（3）根据题意得：，在解不等式组即可得答案．
点评：本题考查一次函数、反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．