题目内容

【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,直线l与⊙O相切于点C且,弦CD交AB于E,BF⊥l,垂足为F,BF交⊙O于G.

(1)求证:CE2=FGFB;

(2)若tan∠CBF=,AE=3,求⊙O的直径.

【答案】(1)见解析;(2)15.

【解析】

(1)由切割线定理知:CF2=FGFB,欲证本题的结论,需先证得CE=CF;可通过证BCE≌△BCF得出

(2)欲求⊙O的直径,已知AE的长,关键是求出BE的长度;在RtABC中,CEAB,根据射影定理得到CE2=AEEB,由此可求出BE的长.

(1)连接AC,

AB为直径,

∴∠ACB=90°,

,且AB是直径

ABCD,

CERtABC的高

∴∠A=ECB,ACE=EBC,

CF是⊙O的切线,

∴∠FCB=A,CF2=FGFB,

∴∠FCB=ECB,

∵∠BFC=CEB=90°,CB=CB,

∴△BCF≌△BCE,

CE=CF,FBC=CBE,

CE2=FGFB;

(2)∵∠CBF=CBE,CBE=ACE,

∴∠ACE=CBF;

tanCBF=tanACE=

AE=3,

CE=6,

RtABC中,CE是高,

CE2=AEEB,即62=3EB,

EB=12,

∴⊙O的直径为:12+3=15.

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