题目内容
如图，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与抛物线y=ax2（a＜0）交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得OA=OB=2
（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；
（3）对该抛物线，将三角板绕点O旋转任意角度时，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试求出该点的坐标．
【答案】分析：（1）根据抛物线的对成性，先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a＜0）得a的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可利用AB2=OA2+OB2，求出点A的横坐标．
（3）首先设A（-m，-
m2）（m＞0），B（n，-
n2）（n＞0），表示出直线AB解析式中b=-
mn，再利用勾股定理得出mn=4，进而得出直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
解答：解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=2
，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，∴B（2，-2），
将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，a=-
．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B （1，-
），
设A（-m，-
m 2）（m＞0），则
OB2=12+（
）2=
，OA2=m2+
m4，AB2=（1+m）2+（-
+
m2）2，
∵∠AOB=90°，∴AB2=OA2+OB2，
∴（1+m）2+（-
+
m2）2=m2+
m4+
，
解得：m=0（不合题意舍去）或m=4，即点A的横坐标为-4．
（3）解法一：设A（-m，-
m 2）（m＞0），B（n，-
n 2）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则
，
①×n+②×m得，（m+n）b=-
（m2n+mn2）=-
mn（m+n），
∴b=-
mn，
由前可知，OB2=n2+
n4，OA2=m2+
m4，AB2=（n+m）2+（-
m2+
n2）2，
由AB2=OA2+OB2，得：n2+
n4+m2+
m4=（n+m）2+（-
m2+
n2）2，
化简，得mn=4．
∴b=-
×4=-2．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），
解法二：设A（-m，-
m 2）（m＞0），B（n，-
n 2）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△BOF=S△AOC+S△BOC，可得
×（
m2+
n2）（m+n）-
m×
m2-
n×
n2=
CO•m+
CO•n
化简，得CO=
mn，
由前可知，OB2=n2+
n4，OA2=m2+
m4，AB2=（n+m）2+（-
m2+
n2）2，
由AB2=OA2+OB2，得：n2+
n4+m2+
m4=（n+m）2+（-
m2+
n2）2，
化简，得mn=4．
∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
点评：此题考查了抛物线的对称性和勾股定理以及一元二次方程解法，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可利用AB2=OA2+OB2，求出点A的横坐标．
（3）首先设A（-m，-
m2）（m＞0），B（n，-n2）（n＞0），表示出直线AB解析式中b=-mn，再利用勾股定理得出mn=4，进而得出直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．解答：解：（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵OA=OB=2
，∠AOB=90°，∴AC=OC=BC=2，∴B（2，-2），
将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，a=-
．（2）过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，∴B （1，-
），设A（-m，-
m 2）（m＞0），则OB2=12+（
）2=，OA2=m2+m4，AB2=（1+m）2+（-+m2）2，∵∠AOB=90°，∴AB2=OA2+OB2，
∴（1+m）2+（-
+m2）2=m2+m4+，解得：m=0（不合题意舍去）或m=4，即点A的横坐标为-4．
（3）解法一：设A（-m，-
m 2）（m＞0），B（n，-n 2）（n＞0），设直线AB的解析式为：y=kx+b，则
，①×n+②×m得，（m+n）b=-
（m2n+mn2）=-mn（m+n），∴b=-
mn，由前可知，OB2=n2+
n4，OA2=m2+m4，AB2=（n+m）2+（-m2+n2）2，由AB2=OA2+OB2，得：n2+
n4+m2+m4=（n+m）2+（-m2+n2）2，化简，得mn=4．
∴b=-
×4=-2．由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2），解法二：设A（-m，-
m 2）（m＞0），B（n，-n 2）（n＞0），直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△BOF=S△AOC+S△BOC，可得
×（m2+n2）（m+n）-m×m2-n×n2=CO•m+CO•n化简，得CO=
mn，由前可知，OB2=n2+
n4，OA2=m2+m4，AB2=（n+m）2+（-m2+n2）2，由AB2=OA2+OB2，得：n2+
n4+m2+m4=（n+m）2+（-m2+n2）2，化简，得mn=4．
∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2）．
点评：此题考查了抛物线的对称性和勾股定理以及一元二次方程解法，第（3）问求出mn=4是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
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