题目内容
(2012•镇江模拟)如图,将一把直角三角板的直角顶点放置于原点O,两直角边与抛物线y=x2交于M、N两点,设M、N的横坐标分别为m、n(m>0,n<0);请解答下列问题:
(1)当m=1时,n=
(2)连接M、N,若△OMN的面积为S,求S关于m的函数关系式.
(3)当三角板绕点O旋转到某一位置时,恰好使得∠MNO=30°,此时过M作MA⊥x轴,垂足为A,求出△OMA的面积.
(4)当m=2时,抛物线上是否存在一点P使M、N、O、P四点构成梯形?若存在,直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
(1)当m=1时,n=
-1
-1
;当m=2时,n=-
1 |
2 |
-
.试猜想m与n满足的关系,并证明你猜想的结论.1 |
2 |
(2)连接M、N,若△OMN的面积为S,求S关于m的函数关系式.
(3)当三角板绕点O旋转到某一位置时,恰好使得∠MNO=30°,此时过M作MA⊥x轴,垂足为A,求出△OMA的面积.
(4)当m=2时,抛物线上是否存在一点P使M、N、O、P四点构成梯形?若存在,直接写出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)根据点M、N的坐标的横坐标与纵坐标的长度对应成比例列式计算即可得解;过点N作NB⊥x轴,垂足为B,根据同角的余角相等求出∠BON=∠AMO,然后证明△OMA和△NOB相似,根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得到m、n的关系式,从而得到证明;
(2)根据△OMN的面积=梯形ABNM的面积-△BON的面积-△AOM的面积,列式整理即可得解;
(3)根据∠MNO的余切值求出
,再根据△OMA和△NOB相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出m、n的关系,然后把m•n=-1代入消掉n,再根据三角形的面积公式列式整理即可得解;
(4)先求出M、N的坐标,然后求出直线ON、MN、OM的解析式,然后分①MP∥ON时,根据平行直线的解析式的k值相等求出直线MP的解析式,再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标;②OP∥MN时,根据平行直线的解析式的k值相等求出直线MP的解析式,再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标;③NP∥OM时,根据平行直线的解析式的k值相等求出直线MP的解析式,再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标.
(2)根据△OMN的面积=梯形ABNM的面积-△BON的面积-△AOM的面积,列式整理即可得解;
(3)根据∠MNO的余切值求出
NO |
OM |
(4)先求出M、N的坐标,然后求出直线ON、MN、OM的解析式,然后分①MP∥ON时,根据平行直线的解析式的k值相等求出直线MP的解析式,再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标;②OP∥MN时,根据平行直线的解析式的k值相等求出直线MP的解析式,再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标;③NP∥OM时,根据平行直线的解析式的k值相等求出直线MP的解析式,再与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标.
解答:解:(1)当m=1时,点M的坐标为(1,1),点N的坐标为(n,n2),
所以,
=
,
解得n=-1;
当m=2时,点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(n,n2),
所以,
=
,
解得n=-
;
猜想:m与n满足的关系:m•n=-1.
证明:作NB⊥x轴,垂足为B,∵∠MON=90°,
∴∠BON+∠AOM=180°-90°=90°,
∵∠AOM+∠AMO=90°,
∴∠BON=∠AMO,
又∵∠OAM=∠NBO=90°,
∴△OMA∽△NOB,
∵M(m,m2) N(n,n2),
∴
=
,
即
=
,
整理得:m•n=-1;
(2)S△OMN=S梯形ABNM-S△BON-S△AOM=
-
-
,
=
,
=
,
=
,
=
;
(3)∵∠MNO=30°,
∴cot∠MNO=cot30°=
,
即
=
,
又∵△OMA∽△NOB(已证),
∴
=
,
将m•n=-1代入得m3=
,
∴△OMA的面积=
m•m2=
m3=
;
(4)当m=2时,∵点M在抛物线y=x2上,
∴点M的坐标为(2,4),
n=-
=-
,
∴点N的坐标为(-
,
),
所以,直线ON的解析式为y=-
x,OM的解析式为y=2x,
设直线MN的解析式为y=kx+b,
则
,
解得
,
所以,直线MN的解析式为y=
x+1,
①MP∥ON时,设直线MP的解析式为y=-
x+e,
则-
×2+e=4,
解得e=5,
所以,直线MP的解析式为y=-
x+5,
联立
,
解得
(为点M),
,
所以,点P的坐标为(-
,
);
②OP∥MN时,OP的解析式为y=
x,
联立
,
解得
(为点O),
,
所以,点P的坐标为(
,
);
③NP∥OM时,设直线NP解析式为y=2x+f,
则2×(-
)+f=
,
解得f=
,
所以,直线NP的解析式为y=2x+
,
联立
,
解得
(为点N),
,
所以,点P的坐标为(
,
),
可以证明,以上三种情况底边都不相等,都是梯形,
综上所述,点P的坐标为(-
,
)或(
,
)或(
,
)时,M、N、O、P四点构成梯形.
所以,
1 |
1 |
n2 |
-n |
解得n=-1;
当m=2时,点M的坐标为(2,4),点N的坐标为(n,n2),
所以,
2 |
4 |
n2 |
-n |
解得n=-
1 |
2 |
猜想:m与n满足的关系:m•n=-1.
证明:作NB⊥x轴,垂足为B,∵∠MON=90°,
∴∠BON+∠AOM=180°-90°=90°,
∵∠AOM+∠AMO=90°,
∴∠BON=∠AMO,
又∵∠OAM=∠NBO=90°,
∴△OMA∽△NOB,
∵M(m,m2) N(n,n2),
∴
AM |
OA |
ON |
BN |
即
m2 |
m |
-n |
n2 |
整理得:m•n=-1;
(2)S△OMN=S梯形ABNM-S△BON-S△AOM=
(m2+n2)(m-n) |
2 |
-n3 |
2 |
m3 |
2 |
=
mn(n-m) |
2 |
=
m-n |
2 |
=
m+
| ||
2 |
=
m2+1 |
2m |
(3)∵∠MNO=30°,
∴cot∠MNO=cot30°=
NO |
OM |
即
NO |
OM |
3 |
又∵△OMA∽△NOB(已证),
∴
n2 |
m |
3 |
将m•n=-1代入得m3=
| ||
3 |
∴△OMA的面积=
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
6 |
(4)当m=2时,∵点M在抛物线y=x2上,
∴点M的坐标为(2,4),
n=-
1 |
m |
1 |
2 |
∴点N的坐标为(-
1 |
2 |
1 |
4 |
所以,直线ON的解析式为y=-
1 |
2 |
设直线MN的解析式为y=kx+b,
则
|
解得
|
所以,直线MN的解析式为y=
3 |
2 |
①MP∥ON时,设直线MP的解析式为y=-
1 |
2 |
则-
1 |
2 |
解得e=5,
所以,直线MP的解析式为y=-
1 |
2 |
联立
|
解得
|
|
所以,点P的坐标为(-
5 |
2 |
25 |
4 |
②OP∥MN时,OP的解析式为y=
3 |
2 |
联立
|
解得
|
|
所以,点P的坐标为(
3 |
2 |
9 |
4 |
③NP∥OM时,设直线NP解析式为y=2x+f,
则2×(-
1 |
2 |
1 |
4 |
解得f=
5 |
4 |
所以,直线NP的解析式为y=2x+
5 |
4 |
联立
|
解得
|
|
所以,点P的坐标为(
5 |
2 |
25 |
4 |
可以证明,以上三种情况底边都不相等,都是梯形,
综上所述,点P的坐标为(-
5 |
2 |
25 |
4 |
3 |
2 |
9 |
4 |
5 |
2 |
25 |
4 |
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了相似三角形的判定与性质,三角形的面积求解,梯形的两底边平行的性质,待定系数法求一次函数解析,联立两函数解析式求交点坐标,(4)要分△OMN的三边分别是梯形的底边的情况进行讨论求解,比较复杂,计算时要认真仔细.
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