Question

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A（-1，0），B（-3，0）两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且，求点P的坐标；
（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，且点Q到直线BC的距离最远，求点Q坐标．

Answer 1

（1） ∵抛物线 经过A（-1，0），B（-3，0），
   ∴   解得：
   ∴抛物线的解析式为
（2） 由． 可得D（-2，1），C（0，-3）
    ．
   可得是等腰直角三角形．
    ∴=45^。，
 如图1，设抛物线对称轴与轴交于点F，．
  过点A作 于点E．
    ∴=90^。
  可得，．
  在AEC与AFP中，=90^。，，
    ∴．
   ∴，
  解得PF=2．
  点P在抛物线的对称轴上，点P的坐标为（-2，2）或（-2，-2）．
（3）设直线BC的解析式，直线BC经过B（-3，0），C（0，-3），
   ∴
   解得：k=-1，b=-3， ∴直线BC的解析式
  设点Q（m，n），过点Q作QH⊥BC于H，并过点Q作 QS∥y轴交直线BC于点S，
   则S点坐标为（m，-m-3） ∴QS=n-（-m-3）=n+m+3
   ∵点Q（m，n）在抛物线y=-x²-4x-3上，
   ∴n=-m²-4m-3
   ∴QS=-m²-4m-3+m+3
           =-m²-3m
           =
   当m= 时，QS有最大值
   ∵BO=OC，∠BOC=90°，
    ∴∠OCB=45°
   ∵QS∥y轴， ∴∠QSH=45°
   ∴△QHS是等腰直角三角形
   ∴当斜边QS最大时QH最大. 
   ∵当m= 时，QS最大， ∴此时n=-m²-4m-3=-+6-3=
    ∴Q（，）
   ∴Q点的坐标为（，）时，点Q到直线BC的距离最远。