Question

如图，在⊙O中，∠ACB=∠BDC=60°，AC=，

（1）判断△ABC的形状并证明你的结论；
（2）求⊙O的周长

Answer 1

（1）见解析（1）4π

试题分析：利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状（2）由三角形内角和得∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，作OE⊥AC，连接OA，由垂径定理得，AE=CE=AC=cm，再由余弦的概念求得半径OA的长，由圆的周长公式求得周长．
解：（1）△ABC为等边三角形证明如下：
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角
∴∠BAC=∠BDC
∵∠ACB=∠BDC=60° ∴∠BAC =∠ACB =60°
∴△ABC为等边三角形……………………3分
（2）过O点作OE⊥AC于E点，连接OA
∵AC= ∴AE=CE=
∵△ABC为等边三角形
∴∠OAE=∠BAC=30°  设OE=x，则OA=2x,
在Rt△OAE中，有，解之得x=1
∴OA=2  即⊙O的周长=2×2×π=4πcm
点评：本题考查了圆周角定理．同弧所对的圆周角相等，并且等于它所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定方法．本题利用了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，垂径定理，余弦的概念，圆周长公式求解．