Question

有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．下图是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间x（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题：
（1）乙队开挖到30米时，用了

 

小时．开挖6小时时，甲队比乙队多挖了

 

米；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？
（3）如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度应每小时增加多少米，才能与甲队同时完成110米的挖掘任务？

Answer 1

分析：（1）可以从图象直接得出答案；
（2）待定系数法求函数解析式：甲队是正比例函数，乙队在2≤x≤6的时间段是一次函数；
（3）两队同时完成任务，可以看成代数中的追及问题．

解答：解：（1）由图象可得：乙队开挖到30米时，用了2小时；
开挖6小时时，甲队比乙队多挖了：60-50=10米；

（2）①设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k₁x．
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k₁=60，
解得k₁=10．
∴y=10x；
②设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k₂x+b，
由图可知，函数图象过点（2，30）（6，50），
∴

2k2+b=30 6k2+b=50

，
解得

k2=5 b=20

．
∴y=5x+20；
③由题意得10x＞5x+20，
解得x＞4，
∴4小时后，甲队挖掘河渠的长度开始超过乙队；

（3）设应每小时增加x千米，才能与甲队同时完成110米的挖掘任务，得

110-60

10

=

110-50

x+5

，
解得：x=7，
经检验：x=7是原方程的根．
答：施工速度应每小时增加7千米，才能与甲队同时完成110米的挖掘任务．

点评：本题考查待定系数法求函数解析式和一次函数与方程的综合运用，是一道代数型综合题；解题时要读懂图意，找到相应的等量关系是解决本题的关键．