题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）在点Q从B到A的运动过程中，
①当t=时，PQ⊥AC；
（2）②求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；
②当l经过点B时，求t的值．
【答案】
（1）
（2）
解：如图1所示，过点P作PH⊥AB于点H，
AP=t，AQ=3﹣t，
则∠AHP=∠ABC=90°，
∵∠PAH=∠CAB，
∴△AHP∽△ABC，
∴ 
，
∵AP=t，AC=5，BC=4，
∴PH= 
t，
∴S= 
（3﹣t） t，
即S=﹣ 
t2+ 
t，t的取值范围是：0＜t＜3．
（3）
解：①如图2，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，
即3﹣t=t，
∴t=1.5，
∴AP=AQ=1.5；
延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，
则△AQO∽△ABC，
∴ 
，
∴AO= 
AC= 
，QO= BC=2，
∴PO=AO﹣AP=1．
∵OQ∥BC∥AD，
∴△APE∽△OPQ
∴ 
，
∴AE= 
QO=3．
②（ⅰ）如图3，当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ=CP=AP=t，∠QBP=∠QAP
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°
∴∠PBC=∠PCB CP=BP=AP=t
∴CP=AP= AC= ×5=2.5∴t=2.5．
（ⅱ）如图4，当点Q从A向B运动时l经过点B；
BP=BQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，AP=t，PC=5﹣t，
过点P作PG⊥CB于点G，则PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴ 
，
∴PG= 
AB= 
（5﹣t），CG= BC= 
（5﹣t），
∴BG=4﹣ （5﹣t）= t，
由勾股定理得：BP2=BG2+PG2，
即（6﹣t）2=（ t）2+[ （5﹣t）]2，
解得：t= 
；
综上所述：存在t的值，使得直线l经过点B，t的值是2.5或 ．
【解析】解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AC= 
= 
=5，
∵PQ⊥AC，
∴∠APQ=90°=∠B，
又∵∠PAQ=∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴ 
，
即 
，
解得：t= ，
即t= 时，PQ⊥AC，
所以答案是： ；
【考点精析】解答此题的关键在于理解相似三角形的判定与性质的相关知识，掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
