题目内容
【题目】如图，已知二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点为点C，直线y=x+m与该二次函数的图象交于点A，B两点，其中点A的坐标为（5，8），点B在y轴上．
（1）求m的值和该二次函数的表达式．为线段AB上一个动点（点P不与A，B两点重合），过点P作x轴的垂线，与这个二次函数的图象交于点E．
①设线段PE的长为h，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
②若直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，求当四边形DCEP是平行四边形时点P的坐标．
（3）若点P（x，y）为直线AB上的一个动点，试探究：以PB为直径的圆能否与坐标轴相切？如果能请求出点P的坐标，如果不能，请说明理由．
【答案】(1)m=3，抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3
（2）①h=PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）
②点P的坐标为（3，6）
（3）故存在点P，坐标为P（﹣6+3
，﹣3+3）或P（﹣6﹣3，﹣3﹣3）时，以PB为直径的圆能与坐标轴相切．
【解析】
试题分析：（1）根据点A在直线AB上，求出直线解析式，再根据点A，B求出抛物线的解析式；
（2）①根据点P在直线AB上，表示出点P，求出h=PE；
②由DC∥PE，只要DC=PE即可，求出点P的坐标；
（3）由点P在直线AB上，确定出点P到x，y轴的距离，再由以BC为直径的圆与坐标轴相切，求出点P坐标．
试题解析：（1）A的坐标为（5，8）在直线y=x+m上，
∴8=5+m，
∴m=3，
∴直线AB解析式为y=x+3，
∴B（0，3），
设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+k，
∵点A，B在抛物线上，
∴
，
∴
，
∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3，顶点C（2，﹣1）
（2）①∵点P在线段AB上，
∴P（x，x+3）（0≤x≤5），
∵PE⊥x轴，交抛物线与E，P（x，x+3），
∴E（x，x2﹣4x+3），
∴h=PE=x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+5x，（0≤x≤5）
②∵直线AB与这个二次函数图象的对称轴的交点为D，
∴D（2，5），
∴DC=6，
∵四边形DCEP是平行四边形，
∴PE=DC=6，
∵PE=|﹣x2+5x|，
Ⅰ、当0≤x≤5时，﹣x2+5x=6，
∴x1=2（舍），x2=3，
∴P（3，6），
Ⅱ、当x＜0，或x＞5时，x2﹣5x=6，
∴x3=﹣1，x4=6，
∴P（﹣1，2）或P（6，9），（舍）
即：点P的坐标为（3，6）
（3）∴点P（x，y）为直线AB上的一个动点，
∴P（x，x+3），
∴点P到x轴的距离为|x+3|，到y轴的距离为|x|，
∵点B（0，3），
∴BP=
|x|，
∵以PB为直径的圆能与坐标轴相切，
∴①以PB为直径的圆能与y轴相切，
∴|x|=
|x|，
∴x=0（舍），
②以PB为直径的圆能与x轴相切，
∴|x+3|=|x|，
∴x=﹣6﹣3或x=﹣6+3，
∴P（﹣6﹣3，﹣3+3）或P（﹣6﹣3，﹣3﹣3）．
故存在点P，坐标为P（﹣6+3，﹣3+3）或P（﹣6﹣3，﹣3﹣3）时，以PB为直径的圆能与坐标轴相切．
