Question

巳知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝3 cm，∠C＝60°，BD⊥CD． (1) 求BC、AD的长度； (2) 若点P从点B开始沿BC边向点C以2 cm／秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1 cm／秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)； (3) 在⑵的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1∶5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	在Rt△BCD中，CD＝3 cm，∠C＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝2CD＝6 cm，由已知得：梯形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠C＝60°，∴∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝30°，又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ADB，∴AD＝AB＝3 cm；
(2)	当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP＝2t，CQ＝t，∴PC＝6－2t，过Q作QE⊥BC于E，则QE＝CQsin60°＝，∴S△PCQ＝ 　　S梯形ABCD＝∴S五边形ABPQD＝S梯形ABCD－S△PCQ＝(0＜t＜3)；
(3)	存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1∶5，∵S梯开ABCD＝S△ABD＝∴S△ABD＝×S梯形ABCD，∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD的面积的，∴S△PCQ∶S五边形ABPQD＝1∶5，即S五边形ABPQD＝S梯形ABCD，∴整理得：4t2－12t＋9＝0，∴t＝，即：当t＝秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1∶5．