题目内容

巳知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3cm，∠C=60°，BD⊥CD．
（1）求BC、AD的长度；
（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不包含点P在B、C两点的情况）；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°
∴∠DBC=30°
∴BC=2CD=6cm
由已知得：梯形ABCD是等腰梯形
∴∠ABC=∠C=60°
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=30°
∴∠ABD=∠ADB
∴AD=AB=3cm

（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t

∴PC=6-2t
过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°= $\text{[math]}$ t
∴S_梯形ABCD-S_△PCQ= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ （6-2t）t= $\text{[math]}$ （2t²-6t+27）（0＜t＜3）

（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5
∵S_梯形ABCD= $\text{[math]}$ ，S_△ABD= $\text{[math]}$ ×3× $\text{[math]}$ ×3
∴S_△ABD= $\text{[math]}$ ×S_梯形ABCD
∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的 $\text{[math]}$
∴S_△PCQ：S_{五边形ABPQD}=1：5，
即S_{五边形ABPQD}= $\text{[math]}$ S_梯形ABCD
∴ $\text{[math]}$ （2t²-6t+27）= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
整理得：4t²-12t+9=0
∴t= $\text{[math]}$ ，即当t= $\text{[math]}$ 秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．
分析：（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°根据三角函数就可以求出BC的长．∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°，即∠ABD=∠ADB根据等角对等边，就可以得到AD=AB．
（2）写出五边形ABPQD的面积S是梯形ABCD的面积与△PCQ的面积的差，梯形ABCD的面积容易得到．△PCQ中PC容易用时间t表示出来，PC边上的高，根据三角形相似就可以表示出来，从而五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的函数关系式就可以求出来．
（3）线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5，即五边形ABPQD的面积S是梯形面积的 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，就可以得到方程，解方程，就可以求出t的值．
点评：本题是函数与梯形相结合的题目，注意数与形的结合是解题的关键．