题目内容
【题目】点A在数轴上对应的数为﹣3,点B对应的数为2.
(1)如图1点C在数轴上对应的数为x,且x是方程2x+1=x﹣5的解,在数轴上是否存在点P使PA+PB=BC+AB?若存在,求出点P对应的数;若不存在,说明理由;
(2)如图2,若P点是B点右侧一点,PA的中点为M,N为PB的三等分点且靠近于P点,当P在B的右侧运动时,有两个结论:①PM﹣BN的值不变;② BN的值不变,其中只有一个结论正确,请判断正确的结论,并求出其值
【答案】(1)存在满足条件的点P,对应的数为﹣和;(2)正确的结论是:PM﹣BN的值不变,且值为2.5.
【解析】
(1)先利用数轴上两点间的距离公式确定出AB的长,然后求得方程的解,得到C表示的点,由此求得BC+AB=8设点P在数轴上对应的数是a,分①当点P在点a的左侧时(a<﹣3)、②当点P在线段AB上时(﹣3≤a≤2)和③当点P在点B的右侧时(a>2)三种情况求点P所表示的数即可;(2)设P点所表示的数为n,就有PA=n+3,PB=n﹣2,根据已知条件表示出PM、BN的长,再分别代入①PM﹣BN和②PM+BN求出其值即可解答.
(1)∵点A在数轴上对应的数为﹣3,点B对应的数为2,
∴AB=5.
解方程2x+1=x﹣5得x=﹣4.
所以BC=2﹣(﹣4)=6.
所以.
设存在点P满足条件,且点P在数轴上对应的数为a,
①当点P在点a的左侧时,a<﹣3,
PA=﹣3﹣a,PB=2﹣a,所以AP+PB=﹣2a﹣1=8,
解得a=﹣,﹣<﹣3满足条件;
②当点P在线段AB上时,﹣3≤a≤2,PA=a﹣(﹣3)=a+3,PB=2﹣a,
所以PA+PB=a+3+2﹣a=5≠8,不满足条件;
③当点P在点B的右侧时,a>2,PA=a﹣(﹣3)=a+3,PB=a﹣2.,
所以PA+PB=a+3+a﹣2=2a+1=8,解得:a=,>2,
所以,存在满足条件的点P,对应的数为﹣和.
(2)设P点所表示的数为n,
∴PA=n+3,PB=n﹣2.
∵PA的中点为M,
∴PM=PA=.
N为PB的三等分点且靠近于P点,
∴BN=PB=×(n﹣2).
∴PM﹣BN=﹣××(n﹣2),
=(不变).
②PM+BN=+××(n﹣2)=n﹣(随P点的变化而变化).
∴正确的结论是:PM﹣BN的值不变,且值为2.5.