题目内容

已知两条直线 $数学公式$ 和 $数学公式$ （n为正整数），设它们与x轴围成的图形面积为S_n（n=1，2，…，2010），求S₁+S₂+…+S₂₀₁₀的值．

解：令x=0，由直线 $\text{[math]}$ ，解得y= $\text{[math]}$ ，令y=0，解得x=- $\text{[math]}$ ，
所以该直线与x轴的交点坐标为（- $\text{[math]}$ ，0），与y轴的交点坐标为（0， $\text{[math]}$ ）；
令x=0，由直线 $\text{[math]}$ ，解得y= $\text{[math]}$ ，令y=0，解得x= $\text{[math]}$ ，
所以该直线与x轴的交点坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），与y轴的交点坐标为（0， $\text{[math]}$ ），
根据题意画出图形，如图所示：

由图形可知：△ABC的面积为两直线与x轴围成图形的面积S_n，
所以S_n=S_△ABC= $\text{[math]}$ |BC|•|OA|= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），
则S₁+S₂+…+S₂₀₁₀=2（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
分析：观察两条直线的解析式发现，两直线关于y轴对称，且在y轴上交于一点，与x轴的交点关于原点对称，根据题意画出图形，表示出两条直线与x轴围成的面积S_n，利用拆项法把所求式子的每一项变形，抵消后即可求出的值．
点评：此题考查了一次函数与坐标轴的交点求法，以及求一组数的和的方法．借助图形得到所求的面积即为三角形ABC的面积，表示出S_n是解本题的关键，同时注意利用“拆项法”即灵活利用 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，把两直线与x轴围成的面积S_n进行变形．