Question

【题目】已知：二次函数、图像的顶点分别为A、B（其中m、a为实数），点C的坐标为（0，）．

（1）试判断函数的图像是否经过点C，并说明理由；

（2）若m为任意实数时，函数的图像始终经过点C，求a的值；

（3）在（2）的条件下，存在不唯一的x值，当x增大时，函数的值减小且函数的值增大．

①直接写出m的范围；

②点P为x轴上异于原点O的任意一点，过点P作y轴的平行线，与函数、的图像分别相交于点D、E．试说明的值只与点P的位置有关．

Answer 1

【答案】（1）函数y1的图像经过点C，见解析；（2）；（3）①；②见解析

【解析】

（1）取x=0时，计算得，说明函数的图像经过点C；

（2）将点C（0，）代入得，求得a的值；

（3）①只要的对称轴始终在的对称轴右侧，就满足题目的要求，得出m的范围；

②设点P的坐标为（，0），求得DE=，利用勾股定理求得AB=，即可说明结论.

（1）函数的图像经过点C． 理由如下：

当x=0时，==，

∴函数的图像经过点C．

（2）将点C（0，）代入得：

，∴，∵m为任意实数时，函数的图像始终经过点C，

∴的成立与m无关，

∴，∴；

（3）①的对称轴为：，

的对称轴为：，

∵，

∴两函数的图像开口向下，当时，x增大时，函数的值减小且函数的值增大．

∴；

②设点P的坐标为（，0），则=，=，

∴DE===

由①可知：，∴DE=；

过A点作x轴的平行线，过B点作y轴的平行线，两平行线相交点F，

则点F 的坐标为（，），

∴AF==，BF==，

∴AB==，∴==，

故的值只与点P的位置有关．