题目内容
【题目】阅读下列材料，并解决问题：任意一个大于1的正整数m都可以表示为：m=p2+q（p、q是正整数），在m的所有这种表示中，如果
最小时，规定：F(m)=
．例如：21可以表示为：21=12+20=22+17=32+12=42+5，因为
>
>
>
，所以F(21)=
．
（1）求F(33)的值；
（2）如果一个正整数n可以表示为t2-t（其中t≥2，且是正整数），那么称n是次完全平方数，证明：任何一个次完全平方数n，都有F(n)=1；
（3）一个三位自然数k，k=100a+10b+c(其中1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，且a≤c，a、b、c为整数)，满足十位上的数字恰好等于百位上的数字与个位上的数字之和，且k与其十位上数字的2倍之和能被9整除，求所有满足条件的k中F(k)的最小值．
【答案】（1）
；（2）证明见解析；（3）
.
【解析】
（1）根据F(m)的定义，即可求出F(33)的值;
（2）设次完全平方数n=t2-t, t2-t=(t-1)2+(t-1)，根据F(m)的定义，求出
即可证明.
（3）根据
，
，得到
，根据
能够被9整除，即可求出
，进而得到
，
，
，
，根据F(k)的定义进行求解即可.
解：（1）33可以表示为：
，
∵
，
∴
；
（2）证明：设次完全平方数n=t2-t（其中t≥2，且是正整数），
∵t2-t=(t-1)2+(t-1)，
∴n=(t-1)2+(t-1)，
∴
，即
最小，
∴
；
（3）∵，，
∴，
∴
为整数·
∵
，，
∴
，
∴，
∵
，
∴，，，，
∴
，
∵
，
，
，
，
∴F(k)的最小值为．
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