Question

【题目】如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．

（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：；
（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），
①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC=时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，

∴AB=AC，AE=AD，

∴AE﹣AB=AD﹣AC，

∴BE=CD；

（2）

解：①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，

∴AB=AC，AE=AD，

由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，

在△BAE与△CAD中，

，

∴△BAE≌△CAD（SAS）

∴BE=CD；

②如图，

∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ADC=45°，

∵AC=ED，

∴AC=CD，

∴∠CAD=45°

或360°﹣90°﹣45°=225°，或360°﹣45°=315°

∴角α的度数是45°或225°或315°．

故答案为：BE=CD．

【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，再根据等量关系可得线段BE与线段CD的关系；
（2）①根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AE=AD，根据旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，根据SAS可证△BAE≌△CAD，根据全等三角形的性质即可求解；
②根据平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=45°，再根据等腰直角三角形的性质即可求解．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和全等三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等．