题目内容

【题目】如图所示,已知正ABC中射线CMAB于F,射线BA绕B顺时针旋转,旋转后的射线记作a,同时线段AB所在直线绕A顺时针旋转,旋转后的直线记作直线l,当直线l旋转的角度是射线a旋转角度的4倍时,直线l于射线CM相交于E,与射线a相交于D,且D=30°.

(1)求射线a的旋转角是多少度;

(2)求证:DE=AB;

(3)探索:线段DE,EF,DB的数量关系.

【答案】(1)10°;(2)证明见解析;(3)DB=EF+DE.

【解析】

试题分析:(1)根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和,直线a,l的旋转角的关系建立方程4α=30°+α即可;

(2)由BCE=D=30°,判断出点B,C,D,E四点共圆,再判断出EBD=BDC,即可;

(3)判断出BDE≌△ECA,再代换即可.

试题解析:(1)设直线l旋转角为α,

∴∠ABD=α

射线l旋转的角度是射线a旋转角度的4倍,

∴∠BAE=4α,

∵∠BAE=ABD+D,

4α=α+30°,

α=10°,

射线a的旋转角是10°;

(2)连接BE,

在正ABC中,CFAB,

∴∠BCE=30°,

∵∠D=30°,

∴∠BCE=D=30°,

点B,C,D,E四点共圆(线段同侧的两点对线段的张角相等,则这两点以及线段的两个端点共圆)

CEAB,AF=BF,

EA=EB,

∴∠EBA=BAE=40°,

∴∠EBD=50°,EBC=100°,

∴∠EDC=80°,

∴∠BDC=50°

∴∠EBD=BDC,

DE=BC,

BC=AB,

DE=AB,

(3)∵∠BAE=40°,

∴∠AEC=50°,

∵∠ABE=40°,ABD=10°,

∴∠EBD=AEC=50°

∵∠BDE=ACE=30°,DE=AC,

∴△BDE≌△ECA,

BD=EC=EF+FC=EF+AB=EF+DE.

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