Question

（2012•达州）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若AF=1，OA=2

2

，求PC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论．
（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，继而也可得出PC得长．

解答：（1）证明：连接OC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵OA=OC（圆的半径相等），
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO，
∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，
∴FA⊥AB，
∴∠FCO=∠FAO=90°，
∵CO是半径，
∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
又∵∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，
∴△PAF∽△PCO，
∴

PA

PC

=

AF

CO

∵CO=OA=2

2

，AF=1，
∴PC=2

2

PA，
设PA=x，则PC=2

2

x．
在Rt△PCO中，由勾股定理得：(2

2

x)2+(2

2

)2=(x+2

2

)2，
解得：x=

4 2

7

，
∴PC=2

2

×

4 2

7

=

16

7

．

点评：此题考查了切线的性质、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，涉及知识点较多，解答本题要求熟练掌握切线的判定定理及性质，有一定难度．