题目内容

如图，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线l交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线x=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究：
（1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值；
（2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的大小关系并证明你得到的结论；
（3）①设点P的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．
②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标．

解：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，
又AB= $\text{[math]}$ ，
所以t=AB-BC= $\text{[math]}$ -1；

（2）OC=CP．
证明：过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H．
∵PC⊥OC，
∴∠OCP=90°，
∵OA=OB=1，
∴∠OBA=45°，
∵TH∥OB，
∴∠BCH=45°，又∠CHB=90°，
∴△CHB为等腰直角三角形，
∴CH=BH，
∵∠AOB=∠OBH=∠BHT=90°，
∴四边形OBHT为矩形，∴OT=BH，

∴OT=CH，
∵∠TCO+∠PCH=90°，
∠CPH+∠PCH=90°，
∴∠TCO=∠CPH，
∵HB⊥x轴，TH∥OB，
∴∠CTO=∠THB=90°，TO=HC，∠TCO=∠CPH，
∴△OTC≌△CHP，
∴OC=CP；

（3）①∵△OTC≌△CHP，
∴CT=PH，
∴PH=CT=AT=AC•cos45°= $\text{[math]}$ t，
∴BH=OT=OA-AT=1- $\text{[math]}$ t，
∴BP=BH-PH=1- $\text{[math]}$ t，
∴ $\text{[math]}$ ；（0＜t＜ $\text{[math]}$ ）
②t=0时，△PBC是等腰直角三角形，但点C与点A重合，不在第一象限，所以不符合，
PB=BC，则 $\text{[math]}$ -t=|1- $\text{[math]}$ t|，
解得t=1或t=-1（舍去），
∴当t=1时，△PBC为等腰三角形，
即P点坐标为：P（1，1- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）△AOC和△BCP全等，则AO=BC=1，又∵AB= $\text{[math]}$ ，t=AB-BC= $\text{[math]}$ -1；
（2）过点C作x轴的平行线，交OA与直线BP于点T、H，证△OTC≌△CHP即可；
（3）根据题意可直接得出b=1- $\text{[math]}$ t；当t=0或1时，△PBC为等腰三角形，即P（1，1），P（1，1- $\text{[math]}$ ），但t=0时，点C不在第一象限，所以不符合题意．
点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用．解题的关键是会灵活的运用函数的性质和点的意义表示出相应的线段的长度，再结合三角形全等和等腰三角形的性质求解．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．