题目内容

【题目】请阅读下列材料:

问题:如图1,在等边三角形ABC内有一点P,且PA=2,PB=,PC=1、求∠BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长.

李明同学的思路是:将△BPC绕点B逆时针旋转60°,画出旋转后的图形(如图2),连接PP′,可得△P′PB是等边三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证),所以∠AP′B=150°,而∠BPC=∠AP′B=150°,进而求出等边△ABC的边长为,问题得到解决.

请你参考李明同学的思路,探究并解决下列问题:如图3,在正方形ABCD内有一点P,且PA=,BP=,PC=1.求∠BPC度数的大小和正方形ABCD的边长.

【答案】1135°;(2

【解析】试题分析:

1)如图,将BPC绕点B逆时针旋转90°,得BP′A,则BPC≌△BP′A由此可得AP′=PC=1BP=BP′=连接PP′由∠PBP′=90°可得PP′=2BP′P=45°这样在AP′P中由勾股定理的逆定理可得∠AP′P=90°从而可得∠AP′B=135°由此可得∠BPC=AP′B=135°

2过点BBEAP′,交AP′的延长线于点E结合1)中∠AP′B=135°可证得BEP′是等腰直角三角形,结合BP′=可得EP′=BE=1从而可得AE=2,结合BE=1RtABE中由勾股定理即可求得AB的长.

试题解析:

1)如图,

BPC绕点B逆时针旋转90°,得BP′A,则BPC≌△BP′A

AP′=PC=1BP=BP′=

连接PP′

RtBP′P中,

BP=BP′=PBP′=90°

PP′=2BP′P=45°

AP′P中,AP′=1PP′=2AP=

,即AP′2+PP′2=AP2

∴△AP′P是直角三角形,即∠AP′P=90°

∴∠AP′B=135°

∴∠BPC=AP′B=135°

2)过点BBEAP′,交AP′的延长线于点E

∴∠BEP′=90°

∵∠AP′B=135°

∴∠EP′B=45°

BEP′是等腰直角三角形,

BP′=

EP′=BE=1

AE=AP′+EP′=2

∴在RtABE中,由勾股定理,得AB=

∴∠BPC=135°,正方形边长为

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