Question

（2011•黑河）已知直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．
（1）试确定直线BC的解析式．
（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得A点坐标（﹣4﹐0），B点坐标（0﹐4﹚，
∵OA=4OB=4，
∴∠BAO=60°，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵OC=OA=4，
∴C点坐标﹙4，0﹚，
设直线BC解析式为y=kx﹢b，
，
∴，
∴直线BC的解析式为y=﹣；（2分）
﹙2﹚当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴．
∵，
∴，
∴QH=t
∴S_△APQ=AP•QH=t•t=t²﹙0＜t≤4﹚，（2分）
同理可得S_△APQ=t•﹙8﹚=﹣﹙4≤t＜8﹚；（2分）
（3）存在，
（4，0），（﹣4，8）（﹣4，﹣8）（﹣4，）．（4分）

略