Question

已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．
（1）当PA的长度为

2

时，∠PAB=60°；
（2）当PA的长度为

2

2

或

8 5

5

时，△PAD是等腰三角形；
（3）过点P作PE⊥PC交射线AB于E，延长BP交射线AD于F，试证明：AE=AF．

Answer 1

分析：（1）由AB是直径，可得∠APB=90°，然后利用三角函数即可求得PA的长；
（2）当PA=PD、PD=DA时，△PAD是等腰三角形，然后由正方形的性质、勾股定理以及射影定理进行解答；
（3）①如图3，当点E在直径AB上运动时．通过相似三角形△PAE∽△PBC的对应边成比例、△AFP∽△BAP的对应边成比例分别得到

PA

PB

=

AE

BC

、

PA

PB

=

AF

AB

．因为BC=AB，所以
AE=AF；
②如图4，当点E在AB的延长线上运动时，证法同上．

解答：解：（1）若∠PAB=60°，需∠PBA=30°，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
则在Rt△PAB中，PA=

1

2

AB=2，
∴当PA的长度等于2时，∠PAB=60°；
故答案是：2；

（2）①若△PAD是等腰三角形，当PA=PD时，如图1，此时P位于正方形ABCD的中心O．
则PD⊥PA，PD=PA，
∴AD²=PD²+PA²=2PA²=16，
∴PA=2

2

；
②当PD=DA时，以点D为圆心，DA为半径作圆与弧AB的交点为点P．如图2
连PD，令AB中点为O，再连DO，PO，DO交AP于点G，
则△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
设AG为2x，OG为x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=

2 5

5

，
∴AG=2x=

4 5

5

，
∴AP=

8 5

5

，
∴当PA的长度等于2

2

或

8 5

5

时，△PAD是等腰三角形；
故答案是：2

2

或

8 5

5

；

（3）证明：①如图3，当点E在直径AB上运动时．
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，则∠APE+∠EPB=90°．
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，则∠EPB+∠BPC=90°，
∴∠APE=∠BPC．
同理，∠PAE=∠PBC，
∴△PAE∽△PBC，
∴

PA

PB

=

AE

BC

．
∵△AFP∽△BAP，
∴

PA

PB

=

AF

AB

．
∵BC=AB，
∴AE=AF；
②如图4，当点E在AB的延长线上运动时，证法同上．

点评：此题考查了正方形的性质，圆周角的性质，相似三角形的判定与性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想、分类讨论数学思想的应用．