Question

如图，直角坐标系内的矩形ABCD中顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P，与对角线AC相切于点F，过P、F作直线l，交BC边上于点E .当点P运动到点P₁位置时，直线l恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1 .

（1）求BC、AP₁的长；
（2）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）以点E为圆心作⊙E，与x轴相切 .试探究并猜想⊙P和⊙E有哪几种不同的位置关系，并求出AP相应的取值范围.

Answer 1

解：（1）由y=2x+1可知， 当x=0时 ，y=1
              ∴ 点B(0，1) ∵点A(0，3)
               ∴AB=2 又 BC=2AB ∴ BC=4
               ∵点P₁在直线y=2x+1和AD边上，又AD // x轴 ， ∴可设
              则 3=2a+1 即 ∴   ∴AP₁=1 ；
（2）∵AP=m   AD=4    AP₁=1
         ∴PD = 4-m    P₁P = m-1
         又P₁P//BE，P₁B//PE，    ∴P₁PEB是平行四边形.
       ∴BE=P₁P      ∴EC = 4-(m-1) = 5-m      
       ∴S=[(4-m)+(5-m)]×2 = 9-2m      1≤m<4；
（3）当⊙E与x轴及⊙P外切时，EF=1， ∵ △CFE∽△CBA 
         ∴   ∴即EC=
         ∴BE=4- 即m-1=4-     ∴m=5-
        ∴当m=5-时， ⊙P与⊙E外切；
            当1≤m<5-时， ⊙P与⊙E外离；
            当5-<m<4时， ⊙P与⊙E相交 。