题目内容
（2003•黑龙江）已知：如图，直角坐标系内的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的长分别是关于x的方程x2-6mx+m2+4=0的两根，并且S△AOC：S△BOC=1：5．（1）求AC、OB的长；
（2）当BC⊥OC时，求OC的长及OC所在直线的解析式；
（3）在第（2）问的条件下，线段OC上是否存在一点M，过M点作x轴的平行线，交y轴于F，交BC于D，过D点作y轴的平行线，交x轴于点E，使S矩形FOED=
S梯形AOBC？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）根据等高三角形的面积等于底边比，可得出AC：OB=1：5．而AC、OB又是方程x2-6mx+m2+4=0的两根，可根据韦达定理得出AC、OB的和与积的值，然后联立AC、OB的比例关系式可求出AC、OB的长；
（2）本题要通过相似三角形求解．如果BC⊥OC，那么∠AOC和∠OBC就同为∠COB的余角，因此两角相等，可得出△OBC∽△COA，根据相似三角形得出的OC2=AC•OB，可求出OC的长．进而可在直角三角形OAC中，求出OA的长，已知了AC的长，也就得出了C点的坐标．可用待定系数法求出OC所在直线的解析式；
（3）先求出矩形FDEO的面积S与OE的长a的函数关系式，易知直线BC的解析式为y=-
x+
，那么DE=-
a+
，因此S=OE•DE=-
a2+
a，易求得梯形AOBC的面积为6，因此S=-
a2+
a=3，解得a=2或3，当a=2时，DE=-
×2+
=
，即M点纵坐标为
，代入直线OC的解析式中可得M（
，-
），同理可求得当a=3时，M（
，1）．
解答：
解：（1）∵S△AOC：S△BOC=1：5
∴AC：OB=1：5
不妨设AC=k，OB=5k
由题意得
解得
或
（不合题意，舍去）
∴AC=1，OB=5；
（2）∵∠OAC=∠BCO=90°，∠ACO=∠BOC
∴△OBC∽△COA
∴
，OC2=OB•AC
∴OC=
或OC=-
（舍去）
∵AC=1，∴AO=2
∴C（1，2）
∴直线OC的解析式为y=2x；
（3）存在，M（
，
）或（
，1）．
点评：本题考查的是一次函数的综合运用以及三角形，梯形的性质，难度中等．
（2）本题要通过相似三角形求解．如果BC⊥OC，那么∠AOC和∠OBC就同为∠COB的余角，因此两角相等，可得出△OBC∽△COA，根据相似三角形得出的OC2=AC•OB，可求出OC的长．进而可在直角三角形OAC中，求出OA的长，已知了AC的长，也就得出了C点的坐标．可用待定系数法求出OC所在直线的解析式；
（3）先求出矩形FDEO的面积S与OE的长a的函数关系式，易知直线BC的解析式为y=-
x+，那么DE=-a+，因此S=OE•DE=-a2+a，易求得梯形AOBC的面积为6，因此S=-a2+a=3，解得a=2或3，当a=2时，DE=-×2+=，即M点纵坐标为，代入直线OC的解析式中可得M（，-），同理可求得当a=3时，M（，1）．解答：
解：（1）∵S△AOC：S△BOC=1：5∴AC：OB=1：5
不妨设AC=k，OB=5k
由题意得
解得
或（不合题意，舍去）∴AC=1，OB=5；
（2）∵∠OAC=∠BCO=90°，∠ACO=∠BOC
∴△OBC∽△COA
∴
，OC2=OB•AC∴OC=
或OC=-（舍去）∵AC=1，∴AO=2
∴C（1，2）
∴直线OC的解析式为y=2x；
（3）存在，M（
，）或（，1）．点评：本题考查的是一次函数的综合运用以及三角形，梯形的性质，难度中等．
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数学奥赛暑假天天练南京大学出版社系列答案
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