题目内容

如图,直角坐标系内的梯形AOBC(O为原点)中AC∥OB,AO⊥OB,AC=1,OA=2,OB=5.
(1)求经过O,C,B三点的抛物线的解析式;
(2)延长AC交抛物线于点D,求线段CD的长;
(3)在(2)的条件下,动点P、Q分别从O、D同时出发,都以每秒1个单位的速度运动,其中点P沿OB由O向B运动,点Q沿DC由D由C运动(其中一个点运动到终点后,另一个点运动也随之停止),过点Q作QM⊥CD交BC于点M,连接PM.设动点运动的时间为t秒,请你探索:当时间t为何值时,△PMB中有一个角是直角.
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分析:(1)由于抛物线经过原点,因此可以设解析式为y=ax2+bx,再把B、C两点的坐标代入抛物线即可求出二次函数的解析式.
(2)本题可以根据C、D两点的纵坐标相等,求出D点的横坐标,则C、D两点之差即为所求.
(3)由题意可知,△PMB有一个角是直角有两种情况①∠MPB=90°时,此时Q、M、P三点在一条直线上,根据四边形AOPQ为矩形,求出t;②∠PMB=90°时,延长QM交X轴于点N,△PNM∽△MNB,△CQM∽△BNM,求出t.
解答:解:(1)由题意知,O(0,0),C(1,2),B(5,0).
设过O、C、B三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx,
将C、B点坐标代入y=ax2+bx,得
a+b=2
25a+5b=0.

可得
a=-
1
2
b=
5
2
.

y=-
1
2
x2+
5
2
x


(2)当y=2时,则-
1
2
x2+
5
2
x=2

解得,x1=1,x2=4.
∴CD=4-1=3;
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(3)延长QM交x轴于点N,有MN⊥OB.
①当点P与点N重合时,有
MP⊥OB,则四边形AOPQ是矩形.
∴AQ=OP即4-t=t
∴t=2.
②若MP⊥BM,则△PNM∽△MNB.
∴MN2=PN•BN.
∵CQ∥NB,
∴△CQM∽△BNM.
MN
MQ
=
BN
CQ

MN
2-MN
=
5-(4-t)
4-1-t

则MN=
t+1
2

∵BN=1+t,PN=5-(1+t)-t=4-2t,
(
t+1
2
) 2
=(4-2t)(t+1).
解得,t1=-1(舍去),t2=
5
3

综合①,②知,当t=2或t=
5
3
时,△PMB中有一个角是直角.
点评:本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、在坐标系中两点间的距离,相似三角形等知识.主要考查学生数形结合的数学思想方法.
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