Question

【题目】如图，边长为4的正方形ABCD中，点P是边CD上一动点，作直线BP，过A、C、D三点分别作直线BP的垂线段，垂足分别是E、F、G．

（1）如图（a）所示，当CP＝3时，求线段EG的长；

（2）如图（b）所示，当∠PBC＝30°时，四边形ABCF的面积；

（3）如图（c）所示，点P在CD上运动的过程中，四边形AECG的面积S是否存在最大值？如果存在，请求出∠PBC为多少度时，S有最大值，最大值是多少？如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6+2；（3）当∠PBC为22.5°时，S有最大值，最大值是4+4．

【解析】

（1）延长AE交BC于点Q，过点D作DR⊥AE，由题意可证四边形DREG是矩形，即DR＝EG，由勾股定理可求BP＝5，由等角的余角相等可得∠ADR＝∠PBQ，可证△ADR∽△PBC，可得,可求出DR＝，即EG＝；（2）过点F作FM⊥AB于点M，作FN⊥BC于点N，由题意可证四边形BNFM是矩形，可得FM＝BN，由直角三角形的性质可求CF＝2，NC＝1，FN＝NC＝，即FM＝BN＝3，根据S四边形ABCF＝S△ABF+S△BFC，可求四边形ABCF的面积；（3）连接AF，AC，过点D作DR⊥AE，由第一问的结论和全等三角形的性质可得BF＝EG，由S四边形AECG＝S△AEG+S△CEG＝×EG×AE+×EG×CF＝×BF×AE+×BF×CF＝S△ABF+S△BCF＝S四边形ABCF＝S△ABC+S△AFC＝8+S△AFC，则当点F在AC的右侧，且到AC距离最大时，S四边形AECG值最大，由点B，点C，点F，点N四点在以O为圆心，OC为半径的圆上，可知当OF⊥AC时，点F到AC距离最大，根据圆的有关性质和等腰三角形的性质，可求四边形AECG的面积S是的最大值和∠PBC的度数；

解：

（1）如图，延长AE交BC于点Q，过点D作DR⊥AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝BC＝4，AD∥BC，

∴∠DAR＝∠AQB，

∵∠AQB+∠PBC＝90°，∠DAR+∠ADR＝90°，

∴∠ADR＝∠PBC，

∵PC＝3，BC＝4，

∴BP＝＝5，

∵∠ADR＝∠PBC，∠ARD＝∠BCD＝90°，

∴△ADR∽△PBC，

∴，

∴，

∴DR＝，

∵DR⊥AE，DG⊥BP，AE⊥BP，

∴四边形DREG是矩形，

∴EG＝DR＝；

（2）如图，过点F作FM⊥AB于点M，作FN⊥BC于点N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，

∵FM⊥AB，FN⊥BC，∠ABC＝90°，

∴四边形BNFM是矩形，

∴FM＝BN，

∵∠PBC＝30°，

∴FC＝BC＝2，∠FCB＝60°，

∴∠NFC＝30°，

∴NC＝1，FN＝NC＝，

∴BN＝BC﹣NC＝4﹣1＝3＝MF，

∴S四边形ABCF＝S△ABF+S△BFC，

∴S四边形ABCF＝×4×3+×4×＝6+2；

（3）如图，连接AF，AC，过点D作DR⊥AE，

由第一问可得，DR＝EG，∠ADR＝∠PBC，

∵AD＝BC，∠ADR＝∠PBC，∠ARD＝∠CFB＝90°，

∴△ADR≌△CBF（AAS）

∴DR＝BF，

∴BF＝EG，

∵S四边形AECG＝S△AEG+S△CEG，

∴S四边形AECG＝×EG×AE+×EG×CF＝×BF×AE+×BF×CF＝S△ABF+S△BCF，

∴S四边形AECG＝S四边形ABCF，

∴S四边形AECG＝S△ABC+S△AFC＝8+S△AFC，

∴当点F在AC的右侧，且到AC距离最大时，S四边形AECG值最大，

如图，连接BD交AC于点N，取BC中点O，连接ON，OF交AC于点M，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BNC＝90°＝∠BFC，BN＝CN，

∴点B，点C，点F，点N四点在以O为圆心，OC为半径的圆上，

∴OC＝OF＝ON＝2，

∵BN＝CN，BO＝CO，∠BNC＝90°，

∴∠CON＝90°，∠BCN＝∠CNO＝45°，

∴NC＝，

即AC＝，

当OF⊥AC时，点F到AC的距离最大，

∵OF⊥AC，ON＝OC，∠NOC＝90°，

∴OM＝MN＝MC＝，∠FOC＝∠NOC＝45°，

∴FM＝2﹣，

∴四边形AECG的面积S的最大值＝8+×4×（2﹣）＝4+4，

∵OB＝OF，

∴∠PBO＝∠OFB，

∵∠PBO+∠OFB＝∠FOC＝45°，

∴∠PBC＝22.5°，

∴当∠PBC为22.5°时，S有最大值，最大值是4+4.