题目内容
【题目】抛物线的顶点为(m
,n
)抛物线
的顶点为(m
,n
),如果
,那么我们称抛物线
与
关于点
中心对称,给出抛物线①
;②
(1)判断抛物线①与抛物线②是否中心对称?若是,求出对称中心的坐标;若不是,说明理由;
(2)直线y=m交抛物线①于A. B两点,交抛物线②于C. D两点,如果AB=2CD,求m的值;
(3)设抛物线①与抛物线②的顶点分别为M、N,点P在x轴上移动,若△MNP为直角三角形,求点P坐标。
【答案】(1) (2)
(3)见解析
【解析】
(1)根据二次函数解析式,求出两函数的关系,结合顶点坐标得出对称中心;
(2)利用根与系数的关系以及两点之间的距离得出m的值即可;
(3)利用勾股定理得出符合要求的所有点的坐标.
(1)抛物线①的
=1,
抛物线②的
=1.
∵,
∴抛物线①与抛物线②是中心对称,抛物线①的顶点坐标(2,1),
抛物线②的顶点坐标(2,5),
∴对称中心的坐标 ,即:(0,2);
(2)点A. B的横坐标是方程x+4x+3=m的两根,
∴x+x
=4, x
.x
=3m,
∴AB=| x-x
|=
同理CD=,
∵AB=2CD,
解得:m=;
(3)设点P(n,0).由(1)得M(2,1),N(2,5),
作ME⊥x轴于E,作NF⊥x轴于F,PN=NF
+PF
=25+(n2)
,
同理PM=ME
+PE
=1+(n+2)
,MN
=4
+6
=52.
若∠MNP=90,PM=MN
+PN
,解得n=
;
若∠NMP=90,PN=MN
+PM
,解得n=
;
若∠NPM=90,PN+PM
=MN
,解得n=±3
综上,点P坐标为:P(192,0),P
(72,0),P
(3,0),P
(3,0).

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