题目内容
【题目】（1）模型建立：
如图，等腰直角三角形
中，
，
，直线
经过点
，过
作
于
，过
作
于
.求证：
；
（2）模型应用：
①如图，一次函数
的图象分别与
轴、
轴交于点、，以线段
为腰在第一象限内作等腰直角三角形，则点的坐标为___________（直接写出结果）
②如图，在
和
中，
，
，
，连接
、
，作
于
点，延长
与交于点
，求证：是的中点.
【答案】（1）见解析；（2）①
或
，②见解析
【解析】
（1）利用同角的余角相等判断出∠CAD=∠BCE，然后利用AAS证明全等，即可得出结论；
（2）①先求出点A和点B的坐标，得到BO=4，AO=2，由
为等腰直角三角形，可分为两种情况：AB=AC或AB=BC，分别求出点C坐标即可；
②作
交
的延长线于
，作
于
，先由AAS证明
≌
，得到
，同理可证
，则
，然后证明
≌
，即可得到结论.
解：（1）
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中
，
；
（2）①∵一次函数
的图象分别与
轴、
轴交于点
、
，
令
，则
；令
，则
；
∴点A为（2，0），点B为（0，4），
∴BO=4，AO=2；
∵为等腰直角三角形，
当AB=AC时，有∠BAC=90°，如图：
与（1）同理，得△ABO≌△CAD，
∴AD=BO=4，CD=AO=2，
∴OD=AO+AD=2+4=6，
∴点C的坐标为：
；
当AB=BC时，有∠ABC=90°，如图：
与（1）同理，得△ABO≌△BCE，
∴CE=BO=4，BE=AO=2，
∴OE=2+4=6，
∴点C坐标为：
；
故答案为：或.
②如图，作交的延长线于，作于，
，
，
；
在与中，
，
，
，
同理，，
，
在与中，
，
，
，
是
的中点.
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