Question

【题目】已知在长方形ABCD中，AB=4，BC=，O为BC上一点，BO=，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．

（1）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在y轴上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；

（2）若点M的坐标为（1，0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P落在长方形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标．

（3）若将（2）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图②，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）2个，P的坐标为（0，﹣1）、（0，1）；（2）点P的坐标为：（1，4），1个；（3），P′的坐标为（0，4），P′′的坐标为（1，4），P′′′的坐标为（4，4），符合条件的等腰三角形有4个．

【解析】

试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质解答；

（2）根据线段垂直平分线的性质解答即可；

（3）分OM=OP、OP=PM、OM=MP三种情况，根据等腰三角形的性质解答．

解：（1）∵以OM为一边作等腰△OMP，点P在y轴上，

∴OP=OM，又点M的坐标为（1，0），

∴OP=OM=1，

∴符合条件的等腰三角形有2个，

则点P的坐标为（0，﹣1）、（0，1）；

（2）由题意得，OM为等腰△OMP的底边，

则点P在线段OM的垂直平分线上，

∴点P的坐标为：（1，4），

则符合条件的等腰三角形有1个；

（3）如图，∵OP=OM，

∴OP=4，

∴BP==，

∴点P的坐标为（﹣，），

由题意得，P′的坐标为（0，4），P′′的坐标为（1，4），P′′′的坐标为（4，4），

符合条件的等腰三角形有4个．