Question

【题目】在平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．

（1）当⊙O的半径为2时，

①在点 中，⊙O的关联点是_______________．

②点P在直线y=-x上，若P为⊙O 的关联点，求点P的横坐标的取值范围．

（2）⊙C 的圆心在x轴上，半径为2，直线y=-x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①P2、P3，②－≤x≤－或 ≤x≤；（2）－2≤x≤1或2≤x≤2 .

【解析】

试题（1）①由题意得，P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由 的值可知为⊙O的关联点；②满足条件的P只需在以O为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P横坐标范围是－ ≤x≤－ 或 ≤x≤；

（2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A， CA=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点 A，AC=1时；当圆过点 B 时，即可得出.

试题解析：

（1），

点 与⊙的最小距离为 ，点 与⊙的最小距离为1，点与⊙的最小距离为，

∴⊙的关联点为和．

②根据定义分析，可得当直线y=-x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意；

∴ 设点P的坐标为P (x ，-x) ，

当OP=1时，由距离公式可得，OP= ，解得 ，当OP=3时，由距离公式可得，OP= ，，解得，

∴ 点的横坐标的取值范围为－ ≤x≤－ 或 ≤x≤

（2）∵y=-x+1与轴、轴的交点分别为A、B两点，∴ 令y=0得，-x+1=0，解得x=1，

令得x=0得，y=0，

∴A(1，0) ，B (0，1) ，

分析得：

如图1，当圆过点A时，此时CA=3，

∴ 点C坐标为，C ( -2，0)

如图2，当圆与小圆相切时，切点为D，

∴CD=1 ，

又∵直线AB所在的函数解析式为y=-x+1，

∴ 直线AB与x轴形成的夹角是45°，

∴ RT△ACD中，CA= ，

∴ C点坐标为 (1-，0)

∴ C点的横坐标的取值范围为；-2≤ ≤1-，

如图3，当圆过点A时，AC=1，

C点坐标为(2，0)

如图4，

当圆过点 B 时，连接 BC ，此时 BC =3，

在 Rt△OCB中，由勾股定理得OC= ， C点坐标为 (2，0)．

∴ C点的横坐标的取值范围为2≤ ≤2 ；

∴综上所述点C的横坐标的取值范围为－ ≤≤－ 或 ≤≤．